双曲线实轴 6 虚轴 8 求 c 与 e

已知双曲线的实半轴是 6，虚半轴是 8，求它的半焦距以及离心率。

分步解答

1. 双曲线：a = 6，b = 8
   双曲线的实半轴与虚半轴决定它的形状
2. c² = a² + b² = 6² + 8² = 100 ⇒ c = 10
   双曲线中 c 最大，所以是 a 平方加 b 平方
3. e = c / a = 10 / 6 = 1.666667
   离心率刻画开口大小，双曲线的离心率大于 1
4. 渐近线 y = ±(b/a)x = ±1.333333x
   双曲线两支无限接近但不相交的直线就是渐近线
5. 回代校验：c² = a² + b² ⇒ 100 = 36 + 64
   用 a、b、c 三者的关系回代，确认半焦距没有算错

为什么这样做

双曲线与椭圆的关系式差别就在中间那个符号：椭圆里半长轴最大用减，双曲线里半焦距最大用加。混淆这两个符号是这一章最典型的错。离心率在双曲线里大于一，可用它自查：如果算出小于一，一定把关系式用成了椭圆的。

常见错误

• 把双曲线的关系式写成半长轴平方减半短轴平方。
• 离心率算出来小于一却不去查关系式是否用错。
• 把实半轴与虚半轴对调代入，结果仍是一个合法的数，不易察觉。

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