ميل الدالة f(x)=x²−6x+5 عند x=4

بمعلومية الدالة f(x) = x² − 6x + 5، أوجد مشتقتها عند x = 4 وميل المماس لها عند تلك النقطة.

الحل خطوة بخطوة

1. f(x) = 1x² − 6x + 5
   حدد أولاً معاملات الحد التربيعي والحد الخطي والحد الثابت للدالة، مع الانتباه إلى الإشارات
2. f′(x) = 2x − 6
   قاعدة القوى للاشتقاق: مشتقة x² هي 2x، ومشتقة x هي 1، ومشتقة الثابت هي 0
3. k = f′(4) = 2 × 4 − 6 = 2
   قيمة المشتقة عند نقطة تساوي ميل المماس عند تلك النقطة، وهذا هو المعنى الهندسي للمشتقة
4. y₀ = f(4) = -3
   عوض إحداثي x لنقطة التماس في الدالة الأصلية للحصول على إحداثي y لها
5. y − (-3) = 2(x − 4) ⇒ y = 2x − 11
   اكتب معادلة المماس بصيغة الميل والنقطة: يُعطى الميل من المشتقة، والنقطة هي نقطة التماس.

لماذا يعمل هذا الحل

المعنى الهندسي للمشتقة هو ميل المماس، لذا يكفي لإيجاد الميل اشتقاق الدالة ثم تعويض الإحداثي السيني دون الحاجة لكتابة معادلة المماس أولاً. يتم اشتقاق كثير الحدود حدًا بحد: ينخفض أس الحد التربيعي بمقدار واحد ويُضرب في معامله، ويصبح الحد الخطي ثابتًا، بينما يختفي الحد الثابت. عند التعويض يجب الانتباه إلى تضمين إشارة المعامل السالب وإشارة الإحداثي السيني السالب معًا.

الأخطاء الشائعة

• 1) نسيان ضرب الحد التربيعي في معامله الأصلي عند الاشتقاق.
• 2) اعتبار الحد الثابت من البقايا بعد الاشتقاق.
• 3) إغفال إشارة سالبة أثناء التعويض مما يؤدي إلى خطأ في إشارة الميل.

مسائل ذات صلة

n-math-derivative-tangent-line