مجموع أول 7 حدود ذات الحد الأول 3 والنسبة المشتركة 2

الحد الأول لمتتالية هندسية هو 3، والنسبة المشتركة هي 2. أوجد مجموع أول 7 حدود لها.

الحل خطوة بخطوة

1. الحد الأول a₁ = 3، النسبة المشتركة q = 2
   في المتتالية الهندسية، نسبة حدين متجاورين ثابتة؛ وهذا الثابت هو النسبة المشتركة
2. aₙ = a₁ · q^(n−1) = 3 × 2^6 = 192
   الصيغة العامة: نبدأ من الحد الأول ونضرب في النسبة المشتركة (n − 1) مرة.
3. q^6 = 64
   احسب أس النسبة المشتركة أولاً، ثم اضرب في الحد الأول لتجنب الأخطاء في الضرب المتتالي.
4. Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) = 381
   صيغة مجموع المتتابعة الهندسية تعمل فقط عندما لا تكون النسبة المشتركة مساوية لـ 1.

لماذا يعمل هذا الحل

يُشتق صيغة مجموع المتتالية الهندسية من طريقة طرح الحدود منزاحةً: نضرب المجموع في النسبة المشتركة ثم نطرحه من الصيغة الأصلية، فتُحذف الحدود الوسطى أزواجًا. مقام الصيغة هو (النسبة المشتركة ناقص 1)، وإذا كانت النسبة المشتركة تساوي 1 أو 0 فإن الصيغة تفشل ويجب التحقق منها أولًا. بعد الحساب يمكن التحقق من المقدار يدويًا باستخدام الحدود القليلة الأولى؛ فالمتتاليات الهندسية تنمو بسرعة، وغالبًا ما يكون الحد الأخير أكبر بكثير من الحد الأول.

الأخطاء الشائعة

• الخلط بين صيغة مجموع المتتالية الهندسية وصيغة مجموع المتتالة الحسابية.
• كتابة البسط على شكل النسبة المشتركة مرفوعة للأس n ناقص 1 مع نسيان الضرب في الحد الأول.
• تطبيق الصيغة قسرًا عندما تكون النسبة المشتركة تساوي 1 أو 0، مما يؤدي إلى القسمة على صفر.