पहला पद 3 और सार्विक अनुपात 2 वाले पहले 7 पदों का योग

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद 3 है और सार्विक अनुपात 2 है। इसके पहले 7 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

चरण-दर-चरण हल

1. प्रथम पद a₁ = 3, सार्विक अनुपात q = 2
   गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत पदों का अनुपात एक स्थिरांक होता है; इसी स्थिरांक को सार्विक अनुपात कहते हैं
2. aₙ = a₁ · q^(n−1) = 3 × 2^6 = 192
   सामान्य पद सूत्र: प्रथम पद से शुरू करके सार्विक अनुपात को n − 1 बार गुणा करें
3. q^6 = 64
   पहले सार्विक अनुपात की घात निकालें, फिर प्रथम पद से गुणा करें ताकि क्रमिक गुणन में त्रुटि न हो
4. Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) = 381
   गुणोत्तर श्रेणी का योग सूत्र केवल तभी लागू होता है जब सार्विक अनुपात 1 के बराबर न हो

यह क्यों काम करता है

गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग का सूत्र विस्थापित घटाव विधि से आता है: योग को सार्विक अनुपात से गुणा करके मूल योग में से घटाने पर मध्य पद जोड़ों में कट जाते हैं। सूत्र का हर सार्विक अनुपात माइनस 1 होता है, जब सार्विक अनुपात 1 या 0 हो तो सूत्र काम नहीं करता, इसलिए पहले सार्विक अनुपात की जाँच करनी चाहिए। परिणाम निकालने के बाद पहलें कुछ पदों को हाथ से जोड़कर मात्रा की पुष्टि की जा सकती है, गुणोत्तर श्रेढ़ी तेज़ी से बढ़ती है और अंतिम पद अक्सर प्रथम पद से बहुत बड़ा होता है।

सामान्य गलतियाँ

• गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग का सूत्र और समांतर श्रेढ़ी के योग का सूत्र एक दूसरे से भ्रमित करना।
• सूत्र के अंश में सार्विक अनुपात की घात माइनस 1 लिखना लेकिन प्रथम पद से गुणा करना भूल जाना।
• सार्विक अनुपात 1 या 0 होने पर भी सूत्र को जबरन लगाना, जिससे हर शून्य हो जाता है।