首项 3 公比 2 的前 7 项和

等比数列的首项是 3，公比是 2，求它的前 7 项的和。

分步解答

1. 首项 a₁ = 3，公比 q = 2
   等比数列相邻两项之比是常数，这个常数就是公比
2. aₙ = a₁ · q^(n−1) = 3 × 2^6 = 192
   通项公式：从首项起乘 n 减 1 个公比
3. q^6 = 64
   先把公比的幂算出来，再乘首项，可避免连乘出错
4. Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) = 381
   等比求和公式，只在公比不等于 1 时可用

为什么这样做

等比数列求和的公式来自错位相减：把和式乘以公比再与原式相减，中间项成对消去。公式分母是公比减一，公比为一或零时公式失效，要先判断公比。算出结果后可以用前几项手算核对量级，等比数列增长很快，末项往往远大于首项。

常见错误

• 把等比求和公式与等差求和公式混用。
• 公式分子写成公比的项数次方减一却忘了乘首项。
• 公比为一或零时仍硬套公式，导致分母为零。