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两边 6 与 8 夹角 90 度求第三边
在三角形中，已知两边长分别是 6 和 8，它们的夹角是 90 度，求第三边的长度以及三角形的面积。
直接答案
a = 10，面积 S = 24
分步解答
- 已知 b = 6，c = 8，夹角 A = 90°两边及其夹角已知，这是余弦定理最直接的用法
- a² = b² + c² − 2bc·cosA = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos90° = 100余弦定理把三边与一个角联系起来，夹角余弦前是减号
- a = √100 = 10开方取正值，边长不能为负
- S = ½·b·c·sinA = ½ × 6 × 8 × sin90° = 24两边夹角求面积，夹角必须是这两边的夹角；可用另一条边 a = 10 回代检查量级
为什么这样做
余弦定理是勾股定理的推广：当夹角是直角时余弦为零，公式就退化成勾股定理。两边及其夹角已知时，它比正弦定理更直接，因为一次就能求出第三边。面积用两边与夹角的正弦公式，夹角必须是这两个已知边的夹角。
常见错误
- 余弦定理里把减号写成加号，直角时还能凑对，锐角钝角就全错。
- 面积公式用了夹角的正弦却把边取错，用了第三边。
- 开方时漏掉取正值的要求，写出负的边长。