向量 (3,4) 与 (4,−3) 是否垂直

已知平面向量 a 的坐标是 (3, 4)，向量 b 的坐标是 (4, -3)，求它们的数量积，并判断两个向量是否垂直。

分步解答

1. a = (3, 4)，b = (4, -3)
   先把两个向量写成坐标形式，看清对应分量
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3 × 4 + 4 × -3 = 0
   坐标形式的数量积等于对应分量乘积之和，结果是数不是向量
3. |a| = √(3² + 4²) = 5，|b| = 5
   向量长度是分量平方和的算术平方根
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0 ⇒ θ = 90°
   夹角的余弦等于数量积除以两个模的乘积
5. a·b = 0 ⇒ 两向量垂直
   数量积为零是垂直的充要条件，可用来快速判断

为什么这样做

数量积为零与两向量垂直是等价的，这是一条充要条件，所以判断垂直不必去算夹角。这道题两个向量的分量恰好互换并差一个符号，这是旋转九十度的典型特征，算出数量积为零也印证了这一点。零向量除外，它与其他向量的数量积恒为零但没有方向可言。

常见错误

• 用夹角公式算出九十度就以为必须写反余弦，多绕一步还容易出错。
• 把数量积为零说成"两个向量都不存在"，歪曲了结论。
• 分量相乘时符号处理错，把一个负号丢掉，数量积算成二十四。

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