竖直圆轨道 R = 0.2 米：恰好通过最高点

小球在内壁光滑的竖直圆轨道上运动，轨道半径 R = 0.2 米（g 取 10 米/秒²）。小球恰好能通过最高点，求它在最高点的速度和在最低点的速度。

分步解答

1. mg = mv顶²/r → v顶 = √(gr) = √(10×0.2) = 1.4142
   恰好通过最高点：重力刚好提供全部向心力（绳/轨道弹力为 0）
2. ½mv底² = ½mv顶² + mg·2r → v底 = √(5gr) = 3.1623
   最低点到最高点高度差为 2r，机械能守恒

为什么这样做

恰好通过最高点时轨道对球的弹力为零，只有重力提供向心力，mg = mv顶²/R，所以 v顶 = √(gR)。小球从最低点到最高点上升了一个直径 2R，机械能守恒把这部分高度变成额外的速度。

常见错误

• 求最高点速度时用直径 2R 去乘 g，应该用半径 R。
• 以为小球绕轨道一圈速度始终不变。

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