अंडाकार वक्र a=13 b=5 के लिए c और e ज्ञात करें

ज्ञात है कि अंडाकार वक्र का फोकस x-अक्ष पर स्थित है, अर्ध-दीर्घ अक्ष 13 है और अर्ध-लघु अक्ष 5 है। इसका अर्ध-फोकस दूरी और उत्केंद्रता ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. दीर्घवृत्त: a = 13, b = 5
   दीर्घवृत्त की अर्ध-दीर्घ अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष इसका आकार और चपटापन निर्धारित करते हैं
2. c² = a² − b² = 13² − 5² = 144
   दीर्घवृत्त में a सबसे बड़ा होता है, इसलिए a² − b²
3. c = √144 = 12
   धनात्मक वर्गमूल लें, अर्ध-नाभिकीय दूरी नाभि से केंद्र की दूरी है
4. e = c / a = 12 / 13 = 0.923077
   उत्केंद्रता चपटापन को दर्शाती है, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता 0 और 1 के बीच होती है
5. प्रतिस्थापन जाँच: a² = b² + c² ⇒ 169 = 25 + 144
   a, b और c के बीच संबंध का उपयोग करके प्रतिस्थापन जाँच करें कि अर्ध-नाभिकीय दूरी सही है।

यह क्यों काम करता है

अंडाकार वक्र में अर्ध-दीर्घ अक्ष सबसे बड़ा होता है, इसलिए तीनों के बीच संबंध यह है कि अर्ध-दीर्घ अक्ष का वर्ग अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग और अर्ध-फोकस दूरी के वर्ग के योग के बराबर होता है। पदों को स्थानांतरित करने पर अर्ध-फोकस दूरी प्राप्त होती है। अर्ध-फोकस दूरी फोकस से केंद्र की दूरी है, और उत्केंद्रता इसका अर्ध-दीर्घ अक्ष के साथ अनुपात है। एक राशि आकार का वर्णन करती है और दूसरा चपटपन का। गणना करने के बाद वापस प्रतिस्थापित करके जाँच करें कि तीनों के बीच संबंध संतुलित है या नहीं।

सामान्य गलतियाँ

• संबंध को अर्ध-फोकस दूरी का वर्ग बराबर अर्ध-दीर्घ अक्ष के वर्ग माइनस अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग लिख दिया और फिर पदों को गलत स्थानांतरित कर दिया।
• उत्केंद्रता को अर्ध-दीर्घ अक्ष भाग अर्ध-फोकस दूरी के रूप में गणना कर लिया और उल्टा ले लिया।
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक मान भूल गए और ऋणात्मक अर्ध-फोकस दूरी लिख दी।

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