अतिपरवलय की वास्तविक अक्ष 6, काल्पनिक अक्ष 8, c और e ज्ञात करें

दिए गए अतिपरवलय की वास्तविक अर्धाक्ष 6 और काल्पनिक अर्धाक्ष 8 है। इसकी अर्ध-नाभी दूरी और उत्केंद्रता ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. अतिपरवलय: a = 6, b = 8
   अतिपरवलय का वास्तविक अर्ध-अक्ष और काल्पनिक अर्ध-अक्ष उसका आकार निर्धारित करते हैं
2. c² = a² + b² = 6² + 8² = 100 ⇒ c = 10
   अतिपरवलय में c सबसे बड़ा होता है, इसलिए a² + b² की गणना होती है
3. e = c / a = 10 / 6 = 1.666667
   उत्केंद्रता खोलने की चौड़ाई को दर्शाती है, अतिपरवलय की उत्केंद्रता 1 से बड़ी होती है
4. असममित रेखाएँ y = ±(b/a)x = ±1.333333x
   अतिपरवलय की दो शाखाएँ जो अनंत रूप से निकट आती हैं परंतु कभी नहीं मिलतीं, उन रेखाओं को ही असममित रेखाएँ कहते हैं।
5. पुनः प्रतिस्थापन जाँच: c² = a² + b² ⇒ 100 = 36 + 64
   a, b और c के बीच संबंध का उपयोग करके प्रतिस्थापन जाँच करें कि अर्ध-नाभिकीय दूरी सही है।

यह क्यों काम करता है

अतिपरवलय और दीर्घवृत्त के सूत्रों में अंतर केवल मध्य वाले चिह्न का है: दीर्घवृत्त में अर्ध-दीर्घाक्ष सबसे बड़ा होता है इसलिए घटाया जाता है, जबकि अतिपरवलय में अर्ध-नाभी दूरी सबसे बड़ी होती है इसलिए जोड़ा जाता है। इन चिह्नों को भ्रमित करना इस अध्याय की सबसे सामान्य गलती है। अतिपरवलय में उत्केंद्रता एक से बड़ी होती है, जिसका उपयोग स्वयं जाँच के लिए किया जा सकता है: यदि उत्तर एक से कम आता है, तो निश्चित रूप से सूत्र दीर्घवृत्त का ही प्रयोग हो गया है।

सामान्य गलतियाँ

• अतिपरवलय के सूत्र को अर्ध-दीर्घाक्ष का वर्ग घटाकर अर्ध-लघुअक्ष का वर्ग लिख दिया।
• उत्केंद्रता एक से कम आने पर भी यह जाँच नहीं की कि गलत सूत्र प्रयोग हो गया है या नहीं।
• वास्तविक अर्धाक्ष और काल्पनिक अर्धाक्ष को आपस में बदलकर रख दिया, जिससे उत्तर फिर भी एक वैध संख्या आती है और गलती पकड़ना मुश्किल हो जाता है।

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