المحور الحقيقي للقطع الزائد 6 والمحور التخيلي 8، إيجاد c وe

معطى أن نصف المحور الحقيقي للقطع الزائد هو 6، ونصف المحور التخيلي هو 8، أوجد بعده البؤري النصفي والانحراف المركزي.

الحل خطوة بخطوة

1. القطع الزائد: a = 6، b = 8
   يحدد نصف المحور الحقيقي ونصف المحور التخيلي للقطع الزائد شكله.
2. c² = a² + b² = 6² + 8² = 100 ⇒ c = 10
   في القطع الزائد، c هو الأكبر، لذا نجمع مربع a مع مربع b.
3. e = c / a = 10 / 6 = 1.666667
   يقيس الانحراف المركزي مدى اتساع الفتح، والانحراف المركزي للقطع الزائد أكبر من 1
4. الخطوط المقاربة y = ±(b/a)x = ±1.333333x
   الخطوط التي يقترب منها فرعا القطع الزائد إلى ما لا نهاية دون أن تتقاطع هي الخطوط المقاربة.
5. التحقق بالتعويض العكسي: c² = a² + b² ⇒ 100 = 36 + 64
   استخدم العلاقة بين a و b و c للتحقق بالرجوع، للتأكد من أن نصف البعد البؤري صحيح.

لماذا يعمل هذا الحل

الفرق بين معادلة القطع الزائد ومعادلة القطع الناقص يكمن في الإشارة الوسطى فقط: ففي القطع الناقص يُطرح مربع نصف المحور الأصغر من مربع نصف المحور الأكبر، أما في القطع الزائد فيُجمع مربع نصف المحور الحقيقي ومربع نصف المحور التخيلي. الخلط بين هاتين الإشارتين هو الخطأ الأكثر شيوعاً في هذا الفصل. الانحراف المركزي للقطع الزائد أكبر من 1، ويمكن استخدامه للتدقيق الذاتي: إذا حصلت على قيمة أقل من 1، فهذا يعني بالضرورة أنك استخدمت معادلة القطع الناقص بدلاً من القطع الزائد.

الأخطاء الشائعة

• كتابة معادلة القطع الزائد كمربع نصف المحور الأكبر مطروحاً منه مربع نصف المحور الأصغر.
• الحصول على انحراف مركزي أقل من 1 دون التحقق من صحة استخدام المعادلة.
• تبديل نصف المحور الحقيقي بنصف المحور التخيلي عند التعويض، مما يعطي نتيجة صحيحة رياضياً يصعب ملاحظتها.

مسائل ذات صلة

n-math-conic-ellipse-2