8 में से 3 लोगों को चुनने के कितने तरीके हैं

8 छात्रों में से 3 को चुनकर प्रतियोगिता में भाग लेने के कितने अलग-अलग तरीके हैं?

चरण-दर-चरण हल

1. कुल वस्तुएँ n = 8, चुनी गईं वस्तुएँ r = 3
   सबसे पहले कुल वस्तुओं की संख्या और चुनी गई वस्तुओं की संख्या को स्पष्ट करें, फिर देखें कि क्या क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं।
2. क्रमचय संख्या A(8, 3) = 8! / (8 − 3)! = 336
   क्रमचय में क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए हम क्रमगुणितों के भाग से गणना करते हैं।
3. संचय संख्या C(8, 3) = 8! / (3!(8 − 3)!) = 56
   संचय में क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है; क्रमचय की तुलना में हमें एक अतिरिक्त r! से भाग देना पड़ता है।
4. क्रम महत्वपूर्ण नहीं है ⇒ संचय संख्या 56 का उपयोग करें।
   क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं, यह निर्धारित करना इस प्रकार के प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण कदम है।

यह क्यों काम करता है

प्रतियोगिता के लिए लोगों को चुनने में क्रम का कोई महत्व नहीं होता, इसलिए यह संयोजन है न कि क्रमचय। संयोजन की गणना करते समय क्रमचय से एक अंकित संख्या के क्रमगुणित से भाग दिया जाता है; वह चरण ही उसी समूह के सभी क्रमों को एक ही चुनौती मानता है। ऐसे प्रश्नों में सबसे आसान गलती यह निर्धारित करना होती है कि क्या क्रम मायने रखता है या नहीं। पहले स्वयं से पूछें, "क्रम बदलने पर नया हल माना जाएगा?"

सामान्य गलतियाँ

• संयोजन को क्रमचय के रूप में गणना करना और अंकित संख्या का क्रमगुणित गलती से गुणा कर देना।
• "क्रम मायने रखता है" और "क्रम मायने नहीं रखता" की सही पहचान उल्टी कर देना।
• क्रमगुणित की गणना में त्रुटि करना, जैसे 8 का क्रमगुणित और 9 का क्रमगुणित भ्रमित हो जाना।

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