5 किताबों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या

5 अलग-अलग किताबों को एक पंक्ति में रखने के कितने अलग-अलग तरीके हैं?

चरण-दर-चरण हल

1. कुल वस्तुएँ n = 5, चुनी गईं वस्तुएँ r = 5
   सबसे पहले कुल वस्तुओं की संख्या और चुनी गई वस्तुओं की संख्या को स्पष्ट करें, फिर देखें कि क्या क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं।
2. क्रमचय संख्या A(5, 5) = 5! / (5 − 5)! = 120
   क्रमचय में क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए हम क्रमगुणितों के भाग से गणना करते हैं।
3. संचय संख्या C(5, 5) = 5! / (5!(5 − 5)!) = 1
   संचय में क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता है; क्रमचय की तुलना में हमें एक अतिरिक्त r! से भाग देना पड़ता है।
4. क्रम महत्वपूर्ण है ⇒ क्रमचय संख्या 120 का उपयोग करें
   क्रम महत्वपूर्ण है या नहीं, यह निर्धारित करना इस प्रकार के प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण कदम है।

यह क्यों काम करता है

अलग-अलग किताबों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करना क्रम पर निर्भर करता है, क्योंकि किसी भी दो किताबों की जगह बदलने से नया तरीका मिलता है, इसलिए हमें क्रमचय (permutation) का उपयोग करना चाहिए। जब सभी किताबें निकाली जाती हैं, तो क्रमचय संख्या निकाले गए किताबों के क्रमगुणित (factorial) के बराबर होती है, यानी अंतिम स्थान से शुरू करके एक-एक करके घटाते हुए गुणा करना। इस प्रकार के प्रश्नों में यह निर्धारित करना कि क्या क्रम मायने रखता है, मुख्य कदम है; लिखने से पहले इसे पुष्टि करें।

सामान्य गलतियाँ

• क्रमचय संख्या को संयोजन (combination) के रूप में गणना कर दिया और निकाले गए किताबों के क्रमगुणित को छोड़ दिया।
• किताबों की संख्या और स्थानों की संख्या में भ्रम हो गया, जिससे गलत क्रमगुणित का उपयोग किया गया।
• यह मान लिया कि "एक पंक्ति में व्यवस्थित करना" क्रम से स्वतंत्र है, इसलिए सीधे संयोजन का उपयोग कर दिया।

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