f(x)=x²−6x+5 का x=4 पर ढलान

दिया गया फलन f(x) = x² − 6x + 5 है। इसका x = 4 पर अवकलज और उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. f(x) = 1x² − 6x + 5
   पहले फलन के द्विघात गुणांक, रैखिक गुणांक और अचर पद को स्पष्ट रूप से देखें, चिह्नों का ध्यान रखें
2. f′(x) = 2x − 6
   घात फलन का अवकलन: x² का अवकलज है 2x, x का अवकलज है 1, और अचर का अवकलज है 0
3. k = f′(4) = 2 × 4 − 6 = 2
   किसी बिंदु पर अवकलज का मान वही स्पर्श रेखा की ढलान होती है, यही अवकलन का ज्यामितीय अर्थ है
4. y₀ = f(4) = -3
   स्पर्श बिंदु के x-निर्देशांक को मूल फलन में प्रतिस्थापित करें, जिससे स्पर्श बिंदु का y-निर्देशांक प्राप्त होता है
5. y − (-3) = 2(x − 4) ⇒ y = 2x − 11
   स्पर्श रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप में लिखें: ढाल अवकलज से प्राप्त होती है और बिंदु स्पर्श बिंदु से दिया जाता है।

यह क्यों काम करता है

अवकलज का ज्यामितीय अर्थ स्पर्श रेखा की ढलान ही है, इसलिए ढलान ज्ञात करने के लिए केवल अवकलन करके x-निर्देशांक रखना पर्याप्त है; स्पर्श रेखा का समीकरण पहले लिखने की आवश्यकता नहीं। बहुपद का अवकलन पद-दर-पद किया जाता है: द्विघात पद की घात एक कम हो जाती है और गुणांक से गुणा होता है, रैखिक पद अचर बन जाता है, और अचर पद शून्य हो जाता है। मान रखते समय ऋण गुणांक और ऋण x-निर्देशांक के चिह्न दोनों को ध्यान में रखें।

सामान्य गलतियाँ

• अवकलन करते समय द्विघात पद को उसके मूल गुणांक से गुणा करना भूल जाना।
• अचर पद को भी अवकलन के बाद बचे रहने वाले पद समझ लेना।
• मान रखते समय एक ऋण चिह्न छोड़ देना, जिससे ढलान का चिह्न गलत हो जाता है।

संबंधित प्रश्न

n-math-derivative-tangent-line