x = 2 पर स्पर्शरेखा की ढलान और समीकरण

दिया गया फलन f(x) = x² − 2x + 3 है। वक्र में x = 2 पर स्पर्शरेखा की ढलान ज्ञात करें और उस बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण लिखें।

चरण-दर-चरण हल

1. f(x) = 1x² − 2x + 3
   पहले फलन के द्विघात गुणांक, रैखिक गुणांक और अचर पद को स्पष्ट रूप से देखें, चिह्नों का ध्यान रखें
2. f′(x) = 2x − 2
   घात फलन का अवकलन: x² का अवकलज है 2x, x का अवकलज है 1, और अचर का अवकलज है 0
3. k = f′(2) = 2 × 2 − 2 = 2
   किसी बिंदु पर अवकलज का मान वही स्पर्श रेखा की ढलान होती है, यही अवकलन का ज्यामितीय अर्थ है
4. y₀ = f(2) = 3
   स्पर्श बिंदु के x-निर्देशांक को मूल फलन में प्रतिस्थापित करें, जिससे स्पर्श बिंदु का y-निर्देशांक प्राप्त होता है
5. y − (3) = 2(x − 2) ⇒ y = 2x − 1
   स्पर्श रेखा का समीकरण बिंदु-ढाल रूप में लिखें: ढाल अवकलज से प्राप्त होती है और बिंदु स्पर्श बिंदु से दिया जाता है।

यह क्यों काम करता है

स्पर्शरेखा का समीकरण दो चीज़ों की आवश्यकता है: ढलान और स्पर्श बिंदु, दोनों अनिवार्य हैं। ढलान स्पर्श बिंदु के x-निर्देशांक पर अवकलज फलन के मान से दी जाती है। स्पर्श बिंदु का y-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए x-निर्देशांक को मूल फलन में वापस रखना चाहिए, न कि अवकलज फलन में। इन दोनों को प्राप्त करने के बाद बिंदु-ढलान रूप से समीकरण लिखें और फिर ढलान-अंतःखंड रूप में सरल करें। स्पर्श बिंदु को मूल फलन में वापस रखना यह चरण इस प्रश्न में सबसे आसानी से छोड़ दिया जाता है।

सामान्य गलतियाँ

• स्पर्श बिंदु के y-निर्देशांक को अवकलज फलन से ज्ञात किया, गलत फलन में रख दिया।
• बिंदु-ढलान रूप में x-निर्देशांक का चिह्न घटाव (-) के स्थान पर जोड़ (+) लिख दिया।
• केवल ढलान लिख दी और उसे स्पर्शरेखा समीकरण मान लिया, अंतःखंड छोड़ दिया।

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