إيجاد الضلع الثالث عندما يكون الضلعان 6 و 8 والزاوية المحصورة بينهما 90 درجة

في مثلث، معطى ضلعان طولاهما 6 و 8 على التوالي، والزاوية المحصورة بينهما تساوي 90 درجة. أوجد طول الضلع الثالث ومساحة المثلث.

الحل خطوة بخطوة

1. معطى بـ = 6، جـ = 8، الزاوية المحصورة أ = 90°
   معطى ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، وهذا هو التطبيق المباشر لقانون جيب التمام.
2. a² = b² + c² − 2bc·cosA = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos90° = 100
   تربط قانون جيب التمام بين الأضلاع الثلاثة وزاوية واحدة، وتكون إشارة السالب قبل جيب تمام الزاوية المحصورة.
3. a = √100 = 10
   نأخذ الجذر التربيعي الموجب؛ فلا يمكن أن تكون أطوال الأضلاع سالبة.
4. S = ½·b·c·sinA = ½ × 6 × 8 × sin90° = 24
   لحساب المساحة من ضلعين وزاوية، يجب أن تكون الزاوية محصورة بين هذين الضلعين؛ ويمكن استخدام الضلع الثالث a = 10 للتحقق من المقدار.

لماذا يعمل هذا الحل

قانون جيب التمام هو تعميم لنظرية فيثاغورس: عندما تكون الزاوية المحصورة قائمة (90 درجة)، يكون جيب تمامها صفراً، فتتحول الصيغة إلى نظرية فيثاغورس. عند معرفة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، يكون قانون جيب التمام أكثر مباشرة من قانون الجيب لأنه يحسب الضلع الثالث بخطوة واحدة. تُحسب المساحة باستخدام صيغة الضلعين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، ويجب أن تكون الزاوية محصورة بين هذين الضلعين المعطيين.

الأخطاء الشائعة

• كتابة علامة الجمع بدلاً من الطرح في قانون جيب التمام؛ قد يعطي نتيجة صحيحة بالصدفة عند الزاوية القائمة، لكنه يفشل تماماً مع الزوايا الحادة أو المنفرجة.
• استخدام جيب تمام الزاوية المحصورة في صيغة المساحة مع اختيار الضلع الخطأ، وهو استخدام الضلع الثالث بدلاً من الضلعين المعطيين.
• نسيان اشتراط أخذ الجذر الموجب عند استخراج الجذر التربيعي، مما يؤدي إلى كتابة طول ضلع سالب.

مسائل ذات صلة

n-math-trig-sss