إيجاد الزاوية المقابلة للضلع 7 في مثلث أضلاعه 7 و8 و9

أطوال أضلاع مثلث هي 7 و8 و9 على التوالي، أوجد قياس الزاوية المقابلة للضلع 7.

الحل خطوة بخطوة

1. معطى الأضلاع الثلاثة a = 7، b = 8، c = 9
   بما أن الأضلاع الثلاثة معطاة، نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية.
2. cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = 0.66666667
   نتيجة من نتائج قانون جيب التمام، لإيجاد الزاوية من الأضلاع الثلاثة
3. A = arccos(0.66666667) = 48.189685°
   الزاوية الداخلية للمثلث بين 0 و180 درجة، لذا يكفي أخذ القيمة الرئيسية لدالة جيب التمام العكسية
4. S = ½·b·c·sinA = 26.832816
   بعد إيجاد الزاوية، نعوضها في صيغة المساحة باستخدام ضلعين والزاوية المحصورة بينهما
5. التحقق: A + B + C = 180°
   يجب أن يكون مجموع زوايا المثلث الداخلي يساوي ١٨٠ درجة، ويمكن استخدامه للتحقق الذاتي من صحة حساب الزوايا

لماذا يعمل هذا الحل

عند معرفة الأضلاع الثلاثة وإيجاد الزاوية، يجب استخدام نتيجة قانون جيب التمام لأن دالة جيب التمام رتيبة بين صفر و180°، مما يضمن تحديد زاوية وحيدة من قيمتها دون غموض. وهذا أكثر موثوقية من قانون الجيب: ففي الحالات المنفرجة قد يعطي قانون الجيب زاويتين مرشحتين تحتاجان إلى حكم إضافي. بعد حساب الزاوية، يُعاد التعويض في مجموع زوايا المثلث وفي صيغة المساحة مرة واحدة لكل منهما للتحقق من الخطوتين معاً.

الأخطاء الشائعة

• استخدام قانون الجيب لإيجاد الزاوية دون التحقق من الحالة المنفرجة، مما أدى إلى اختيار الزاوية الخاطئة.
• خطأ في إشارات الحدود الثلاثة في البسط عند تطبيق نتيجة قانون جيب التمام، حيث كُتب علامة الجمع بدلاً من الطرح.
• اعتبار ناتج دالة جيب التمام العكسية بالراديان وكتابته مباشرةً كقيمة عددية دون ذكر وحدة الدرجات.

مسائل ذات صلة

n-math-trig-cosine