दो भुजाएँ 6 और 8 जिनके बीच का कोण 90 डिग्री है, तीसरी भुजा ज्ञात करें

एक त्रिभुज में, दो भुजाएँ क्रमशः 6 और 8 दी गई हैं जिनके बीच का कोण 90 डिग्री है। तीसरी भुजा की लंबाई और त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. दिया गया है: b = 6, c = 8, अंतर्गत कोण A = 90°
   दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण ज्ञात है, यह कोसाइन नियम का सबसे प्रत्यक्ष उपयोग है
2. a² = b² + c² − 2bc·cosA = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos90° = 100
   कोसाइन नियम तीन भुजाओं और एक कोण को जोड़ता है, जिसमें अंतर्गत कोण के कोसाइन से पहले ऋणात्मक चिह्न होता है।
3. a = √100 = 10
   धनात्मक वर्गमूल लें, भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
4. S = ½·b·c·sinA = ½ × 6 × 8 × sin90° = 24
   दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से क्षेत्रफल ज्ञात करने पर, कोण उसी दो भुजाओं के बीच होना चाहिए; परिमाण की जांच के लिए तीसरी भुजा a = 10 को वापस रखकर देख सकते हैं।

यह क्यों काम करता है

कोसाइन नियम पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण है: जब अंतर्गत कोण 90 डिग्री होता है तो कोसािन शून्य हो जाता है और सूत्र पाइथागोरस प्रमेय में बदल जाता है। दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण ज्ञात होने पर यह साइन नियम से अधिक सीधा है क्योंकि एक ही चरण में तीसरी भुजा मिल जाती है। क्षेत्रफल के लिए दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के सािन वाले सूत्र का उपयोग करें, और वह कोण इन दोनों भुजाओं के बीच होना चाहिए।

सामान्य गलतियाँ

• कोसाइन नियम में घटाव के चिह्न की जगह जोड़ का चिह्न लिख देना। सीधा कोण पर गलती से सही आ सकता है, लेकिन न्यून कोण या अधिक कोण पर पूरी तरह गलत हो जाता है।
• क्षेत्रफल के सूत्र में अंतर्गत कोण का सािन लिया गया है लेकिन भुजा गलत चुनी गई और तीसरी भुजा का उपयोग कर दिया गया।
• वर्गमूल लेते समय धनात्मक मान लेने की शर्त भूल जाना और ऋणात्मक भुजा लंबाई लिख देना।

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