तीन भुजाएँ 7, 8, 9 दी गई हैं; भुजा 7 के सामने का कोण ज्ञात करें

एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः 7, 8 और 9 हैं। भुजा 7 के सामने वाले कोण का मान ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. तीन भुजाएँ दी गई हैं: a = 7, b = 8, c = 9
   तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर कोसाइन नियम के सूत्र से कोण ज्ञात करें।
2. cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = 0.66666667
   कोसाइन नियम का निष्कर्ष, तीन भुजाओं से कोण ज्ञात करना
3. A = arccos(0.66666667) = 48.189685°
   त्रिभुज का आंतरिक कोण 0 से 180 डिग्री के बीच होता है, इसलिए प्रमुख मान (principal value) लेने पर ही पर्याप्त है
4. S = ½·b·c·sinA = 26.832816
   कोण ज्ञात करने के बाद दो भुजाओं और उनके बीच वाले कोण के सूत्र में रखकर क्षेत्रफल ज्ञात करें
5. जाँच: A + B + C = 180°
   त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होना चाहिए, जिससे कोण की गणना में कोई त्रुटि तो नहीं हुई है इसकी स्वयं जाँच की जा सकती है

यह क्यों काम करता है

जब तीन भुजाएँ ज्ञात हों और कोण ज्ञात करना हो, तो कोसाइन नियम के निष्कर्ष का उपयोग करना चाहिए। इसका कारण यह है कि 0° से 180° तक कोसाइन फलन एकैक (monotonic) होता है, अतः कोसाइन मान से कोण एकमात्र और सपष्ट रूप से ज्ञात हो जाता है। इस परिपेक्ष में यह साइन नियम से अधिक विश्वसनीय है: साइन नियम के अधीन अध्भुज (obtuse) कोण के मामले में दो संभव कोण मिल सकते हैं, जिनके लिए अलग से पड़ताल करनी पड़ती है। कोण ज्ञात करने के बाद, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग और त्रिभुज के क्षेतफल के सूत्र में एक-एक बार वापस रखकर समान्तर रूप से पड़ताल कर सकते हैं।

सामान्य गलतियाँ

• साइन नियम का उपयोग करते समय अध्भुज कोण की संभवता की पड़ताल न करने के कारण गलत कोण चयन कर लिया।
• कोसाइन नियम के निष्कर्ष में अंश (numerator) के तिन पदों के चिह्न गलत रखे गए, जिसके फलस्वरूप घटाने का चिह्न (+) की जगह पर लड़ा चिह्न (-) लिख दिया।
• अंतःकोसाइन (arccosine) के नतीजे को रेडियन समझकर सीधे संख्यात्मक मान लिख दिया और ° इकाई का चिह्न भूल गए।

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