सदिश (2,−1) और (5,3) का अदिश गुणनफल

समतल सदिश a के निर्देशांक (2, -1) हैं और सदिश b के निर्देशांक (5, 3) हैं। उनका अदिश गुणनफल और कोण ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. a = (2, -1) और b = (5, 3)
   दोनों सदिशों को निर्देशांक रूप में लिखें और संगत घटकों को स्पष्ट रूप से पहचानें।
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 2 × 5 + -1 × 3 = 7
   निर्देशांक रूप में अदिश गुणनफल संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है। परिणाम एक संख्या होती है, सदिश नहीं।
3. |a| = √(2² + -1²) = 2.236068, |b| = 5.830952
   सदिश की लंबाई उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होती है।
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0.53687548 ⇒ θ = 57.528809°
   समावेश कोण की कोज्या अदिश गुणनफल को दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
5. a·b = 7 ≠ 0 ⇒ दो सदिश लंबवत नहीं हैं
   अदिश गुणनफल शून्य होना लंबवतता की आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, जिसका उपयोग त्वरित निर्णय के लिए किया जा सकता है

यह क्यों काम करता है

अदिश गुणनफल दो सदिशों को एक आयामी संख्या में बदल देता है। ज्यामितीय अर्थ यह है कि एक सदिश का परिमाण और दूसरे के उस दिशा में प्रक्षेप की लंबाई का गुणनफल होता है। निर्देशांक रूप में यह संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है, परिणाम संख्या होती है न कि सदिश। कोण ज्ञात करने के लिए अदिश गुणनफल को दो परिमाणों के गुणनफल से भाग देकर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (arccos) लेना होता है। हर में दो परिमाणों का गुणनफल होता है, योग नहीं।

सामान्य गलतियाँ

• अदिश गुणनफल को संगत घटकों के अंतरों के वर्गों के योग के रूप में लिखना, जो दूरी का सूत्र है।
• कोण के सूत्र में हर में दो परिमाणों का योग लिखना।
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लेने से पहले मान -1 और 1 की सीमा में होना चाहिए, यदि बाहर है तो गणना में त्रुटि है।

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