क्या सदिश (3,4) और (4,-3) लंबवत हैं?

ज्ञात है कि समतल सदिश a के निर्देशांक (3, 4) हैं और सदिश b के निर्देशांक (4, -3) हैं। उनका अदिश गुणनफल ज्ञात करें और निर्धारित करें कि क्या दोनों सदिश लंबवत हैं।

चरण-दर-चरण हल

1. a = (3, 4) और b = (4, -3)
   दोनों सदिशों को निर्देशांक रूप में लिखें और संगत घटकों को स्पष्ट रूप से पहचानें।
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3 × 4 + 4 × -3 = 0
   निर्देशांक रूप में अदिश गुणनफल संगत घटकों के गुणनफलों का योग होता है। परिणाम एक संख्या होती है, सदिश नहीं।
3. |a| = √(3² + 4²) = 5, |b| = 5
   सदिश की लंबाई उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होती है।
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0 ⇒ θ = 90°
   समावेश कोण की कोज्या अदिश गुणनफल को दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
5. a·b = 0 ⇒ दो सदिश लंबवत हैं
   अदिश गुणनफल शून्य होना लंबवतता की आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, जिसका उपयोग त्वरित निर्णय के लिए किया जा सकता है

यह क्यों काम करता है

अदिश गुणनफल का शून्य होना और दो सदिशों के लंबवत होने के समान है; यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, इसलिए लंबवतता की जाँच करने के लिए कोण की गणना की आवश्यकता नहीं है। इस प्रश्न में दोनों सदिशों के घटक ठीक से अदला-बदली हो गए हैं और एक चिह्न का अंतर है, जो 90 डिग्री के घूर्णन की विशेषता है, और अदिश गुणनफल को शून्य प्राप्त करना इसकी पुष्टि करता है। शून्य सदिश को छोड़कर, जिसका किसी अन्य सदिश के साथ अदिश गुणनफल हमेशा शून्य होता है लेकिन उसमें कोई दिशा नहीं होती।

सामान्य गलतियाँ

• कोण सूत्र से 90 डिग्री निकालकर यह मानना कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन लिखना अनिवार्य है, एक अतिरिक्त चरण जो गलती का कारण बनता है।
• अदिश गुणनफल शून्य होने को 'दोनों सदिश नहीं हैं' कहकर निष्कर्ष को विकृत करना।
• घटकों के गुणा में चिह्न संभालने की गलती, एक ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना और अदिश गुणनफल को 24 प्राप्त करना।

संबंधित प्रश्न

n-math-vector-dot-1