竖直圆轨道 R = 1 米：恰好通过最高点

小球在内壁光滑的竖直圆轨道上运动，轨道半径 R = 1 米（g 取 10 米/秒²）。小球恰好能通过最高点，求它在最高点的速度和在最低点的速度。

分步解答

1. mg = mv顶²/r → v顶 = √(gr) = √(10×1) = 3.1623
   恰好通过最高点：重力刚好提供全部向心力（绳/轨道弹力为 0）
2. ½mv底² = ½mv顶² + mg·2r → v底 = √(5gr) = 7.0711
   最低点到最高点高度差为 2r，机械能守恒

为什么这样做

恰好通过最高点时轨道对球的弹力为零，只有重力提供向心力，mg = mv顶²/R，所以 v顶 = √(gR)。从最低点到最高点上升的高度是直径 2R，由机械能守恒得 v底² = v顶² + 4gR。

常见错误

• 把两点间的高度差当成半径 R，其实应该是直径 2R。
• 以为最低点速度和最高点速度一样大。

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