जब विवेचक धनात्मक हो तो दो मूल ज्ञात करें

दिया गया है कि द्विघात समीकरण x² − 6x + 5 = 0 के दो असमान वास्तविक मूल हैं, इसका विवेचक और दोनों मूल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. a = 1, b = -6, c = 5
   पहले तीन गुणांकों को पढ़ें, अचर पद के चिह्न का ध्यान रखें।
2. Δ = b² − 4ac = -6² − 4 × 1 × 5 = 16
   विवेचक वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करता है: शून्य से बड़ा होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य के बराबर होने पर दो समान वास्तविक मूल, और शून्य से छोटा होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. √Δ = √16 = 4
   विवेचक का वर्गमूल लें; द्विघात सूत्र में इसका अंकगणितीय वर्गमूल प्रयोग किया जाता है।
4. x = (−b ± √Δ)/(2a) ⇒ x₁ = 5, x₂ = 1
   द्विघात सूत्र में धन और ऋण के दो मान होते हैं जो दो मूलों से संगत होते हैं।
5. x₁ + x₂ = −b/a = 6, x₁ · x₂ = c/a = 5
   विएटा के सूत्रों का उपयोग यह जाँचने के लिए किया जा सकता है कि मूलों की गणना सही है या नहीं।

यह क्यों काम करता है

विवेचक का चिह्न वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करता है: धनात्मक होने पर दो असमान वास्तविक मूल, 0 होने पर दो समान वास्तविक मूल और ऋणात्मक होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं। प्रश्न में दो असमान वास्तविक मूल हैं कहने का अर्थ है कि विवेचक धनात्मक है, जो असमिका स्थापित करने या पैरामीटर की सीमा ज्ञात करने का आधार है। विवेचक केवल संख्या देता है, मूलों के विशिष्ट मान अभी भी द्विघात सूत्र से ज्ञात करने होंगे।

सामान्य गलतियाँ

• "दो असमान वास्तविक मूल हैं" और "दो वास्तविक मूल हैं" को एक ही शर्त मान लेना।
• विवेचक सही निकालने के बाद प्रश्न में पूछे गए दोनों मूलों का उत्तर देना भूल जाना।
• विवेचक धनात्मक होने को मूल धनात्मक मान लेना, इनका आपस में कोई संबंध नहीं है।

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