x² + 2x − 8 को हल करें और विवेचक ज्ञात करें

दिया गया है कि द्विघात समीकरण x² + 2x − 8 = 0 के दो मूल हैं, इसका विवेचक और दोनों मूल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. a = 1, b = 2, c = -8
   पहले तीन गुणांकों को पढ़ें, अचर पद के चिह्न का ध्यान रखें।
2. Δ = b² − 4ac = 2² − 4 × 1 × -8 = 36
   विवेचक वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करता है: शून्य से बड़ा होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य के बराबर होने पर दो समान वास्तविक मूल, और शून्य से छोटा होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. √Δ = √36 = 6
   विवेचक का वर्गमूल लें; द्विघात सूत्र में इसका अंकगणितीय वर्गमूल प्रयोग किया जाता है।
4. x = (−b ± √Δ)/(2a) ⇒ x₁ = 2, x₂ = -4
   द्विघात सूत्र में धन और ऋण के दो मान होते हैं जो दो मूलों से संगत होते हैं।
5. x₁ + x₂ = −b/a = -2, x₁ · x₂ = c/a = -8
   विएटा के सूत्रों का उपयोग यह जाँचने के लिए किया जा सकता है कि मूलों की गणना सही है या नहीं।

यह क्यों काम करता है

इस प्रश्न में अचर पद ऋणात्मक है, इसलिए विवेचक में −4ac एक धनात्मक संख्या जोड़ने के बराबर हो जाता है और विवेचक निश्चित रूप से धनात्मक होता है। विवेचक केवल मूलों की संख्या और प्रकृति निर्धारित करता है, उनके परिमाण नहीं; मूलों का परिमाण द्विघात सूत्र द्वारा दिया जाता है। अचर पद ऋणात्मक होने पर दोनों मूल एक धनात्मक और एक ऋणात्मक होते हैं, इस विशेषता से यह जाँच की जा सकती है कि परिणाम उचित हैं या नहीं।

सामान्य गलतियाँ

• −4ac में ऋणात्मक चिह्न और अचर पद के ऋणात्मक चिह्न को मिलाकर घटाव कर दिया।
• वर्गमूल लेते समय 36 का वर्गमूल 36 लिख दिया।
• दोनों मूल धनात्मक आए पर अचर पद ऋणात्मक होने से मूलों के चिह्न विपरीत होने की जाँच नहीं की।

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