x² − 5x + 6 को हल करें और विवेचक ज्ञात करें

दिया गया है कि द्विघात समीकरण x² − 5x + 6 = 0 के दो मूल हैं, इसका विवेचक और दोनों मूल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. a = 1, b = -5, c = 6
   पहले तीन गुणांकों को पढ़ें, अचर पद के चिह्न का ध्यान रखें।
2. Δ = b² − 4ac = -5² − 4 × 1 × 6 = 1
   विवेचक वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करता है: शून्य से बड़ा होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य के बराबर होने पर दो समान वास्तविक मूल, और शून्य से छोटा होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. √Δ = √1 = 1
   विवेचक का वर्गमूल लें; द्विघात सूत्र में इसका अंकगणितीय वर्गमूल प्रयोग किया जाता है।
4. x = (−b ± √Δ)/(2a) ⇒ x₁ = 3, x₂ = 2
   द्विघात सूत्र में धन और ऋण के दो मान होते हैं जो दो मूलों से संगत होते हैं।
5. x₁ + x₂ = −b/a = 5, x₁ · x₂ = c/a = 6
   विएटा के सूत्रों का उपयोग यह जाँचने के लिए किया जा सकता है कि मूलों की गणना सही है या नहीं।

यह क्यों काम करता है

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का मुख्य आधार विवेचक है: यह पहले बताता है कि "मूल हैं या नहीं और कितने हैं", फिर निर्णय करता है कि क्या सूत्र में प्रतिस्थापन करना है। धनात्मक विवेचक का अर्थ है कि ग्राफ़ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, तभी सूत्र के प्लस/माइनस चिह्न प्रत्येक एक वास्तविक मूल से संगत होते हैं। गणना करने के बाद मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करके वापस प्रतिस्थापित करने पर तुरंत चिह्न की त्रुटि पता चल सकती है।

सामान्य गलतियाँ

• विवेचक को b² + 4ac लिखना, एक चिह्न गलत होने पर पूरा प्रश्न गलत हो जाता है।
• मूल सूत्र में हर a लिखना जबकि सही 2a है।
• विवेचक धनात्मक आने पर केवल एक मूल मान लेना और दूसरा मूल छोड़ देना।

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