विवेचक ऋणात्मक है: कोई वास्तविक मूल नहीं

x² + x + 4 = 0 समीकरण के वास्तविक मूल हैं या नहीं, यह निर्धारित करें और कारण बताएं।

चरण-दर-चरण हल

1. a = 1, b = 1, c = 4
   पहले तीन गुणांकों को पढ़ें, अचर पद के चिह्न का ध्यान रखें।
2. Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 1 × 4 = -15
   विवेचक वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करता है: शून्य से बड़ा होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य के बराबर होने पर दो समान वास्तविक मूल, और शून्य से छोटा होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. Δ = -15 शून्य से कम है ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं हैं
   ऋणात्मक विवेचक का अर्थ है कि ग्राफ़ x-अक्ष को नहीं काटता है; इस स्थिति में विएटा के सूत्र द्वारा दिया गया x₁ + x₂ = −b/a = -1 सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में भी मान्य रहता है

यह क्यों काम करता है

विवेचक ऋणात्मक होने का अर्थ है कि परवलय पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे स्थित है और उससे कहीं नहीं मिलता, इसलिए वास्तविक संख्याओं में कोई मूल नहीं होता। ऐसे समय में सूत्र लागू न करें: वास्तविक संख्याओं में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना अर्थहीन है। ध्यान रखें कि वास्तविक मूल न होना समीकरण के अर्थहीन होने के बराबर नहीं है, बस इसके मूल सम्मिश्र संख्याओं की सीमा में होते हैं।

सामान्य गलतियाँ

• विवेचक ऋणात्मक होने पर भी सूत्र लागू करना और ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल लेना।
• "वास्तविक मूल नहीं" को "समीकरण के कोई हल नहीं" कह देना, दोनों का अर्थ अलग है।
• विवेचक सही निकालने पर भी प्रश्न में पूछे गए "क्या वास्तविक मूल हैं या नहीं" का उत्तर भूल जाना।

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