त्रिज्या 5 सेमी, केंद्र से दूरी 13 सेमी: स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात करें

एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के बाहर एक बिंदु केंद्र से 13 सेमी दूर है। उस बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. 13² − 5² = 169 − 25 = 144
   त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है
2. √144 = 12
   स्पर्शरेखा की लंबाई = √(केंद्रों के बीच की दूरी² − त्रिज्या²)

यह क्यों काम करता है

स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, इसलिए त्रिज्या, स्पर्शरेखा और केंद्र से बाहरी बिंदु तक की रेखा एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात की जाती है।

सामान्य गलतियाँ

• त्रिज्या को दूरी से घटाकर स्पर्शरेखा की लंबाई मानना: 13 − 5 = 8।
• त्रिज्या और दूरी के वर्गों को जोड़कर वर्गमूल लेना (सही तरीका कर्ण का वर्ग घटाकर त्रिज्या का वर्ग है)।

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