ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ R = 0.2 मीटर: शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना

एक छोटा गोला ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के चिकने आंतरिक भित्ति पर चलता है, जिसकी त्रिज्या R = 0.2 मीटर है (g = 10 मीटर/सेकंड² लिए गए हैं)। गोला ठीक से शीर्ष बिंदु पर पहंच सकता है, इसलिए उसके शीर्ष और निम्नतम बिंदु पर चाल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. mg = mv_शीर्ष²/r → v_शीर्ष = √(gr) = √(10×0.2) = 1.4142
   शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना: गुरुत्वाकर्षण बल पूर्ण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है (रस्सी/पथ द्वारा लगाया गया बल 0 है)
2. ½mv_तल² = ½mv_शीर्ष² + mg·2r → v_तल = √(5gr) = 3.1623
   निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक ऊँचाई का अंतर 2r है, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है

यह क्यों काम करता है

शीर्ष बिंदु पर ठीक गुजरने के समय पथ का गोले पर नॉर्मल बल शून्य होता है, इसलिए केंद्रमुखी बल केवल गुरुत्वाकर्षण द्वारा पूरा होता है: mg = mv_shirsh²/R, जिससे v_shirsh = √(gR) मिलता है। गोला निम्नतम बिंदु से शीर्ष बिंदु तक 2R (व्यास) ऊपर चढ़ता है, और यान्त्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कारण यह ऊंचाइय़ा अतिरिक्त चाल में बदल जाती है।

सामान्य गलतियाँ

• शीर्ष पर चाल ज्ञात करने के समय त्रिज्या R के बदले व्यास 2R से g को गुणाना गलत है; सही तरीक़ा त्रिज्या R ही होना चाहिए।
• यह मानकर चलना गलत है के गोले की चाल पथ पर एक चक्कर भरे समय तक समान रहती है; ऊंचाइय़ा बदलने पर चाल ज़रूर बदलती है।

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