ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ R = 0.4 मीटर: शीष्ठ बिंदु पर ठीक-ठीक गुजरना

एक छोटी गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के चिकने अंदरूनी भुज पर चलती है, जिसका त्रिज्या R = 0.4 मीटर है (g = 10 मीटर/सेकंड²)। गेंद ठीक-ठीक शीष्ठ बिंदु पर पहुँचती है। उसके शीष्ठ और निम्नतम बिंदु पर वेलोसिटी ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. mg = mv_शीर्ष²/r → v_शीर्ष = √(gr) = √(10×0.4) = 2
   शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना: गुरुत्वाकर्षण बल पूर्ण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है (रस्सी/पथ द्वारा लगाया गया बल 0 है)
2. ½mv_तल² = ½mv_शीर्ष² + mg·2r → v_तल = √(5gr) = 4.4721
   निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक ऊँचाई का अंतर 2r है, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है

यह क्यों काम करता है

शीष्ठ बिंदु पर गुरुत्व बल ही केंद्राभिमुखी बल पूरा करता है और अभिलंब बल शून्य होता है, इसलिए वेलोसिटी v = √(gR) होती है; निम्नतम बिंदु शीष्ठ से 2R नीचे होता है, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण से वेलोसिटी पायी जा सकती है।

सामान्य गलतियाँ

• शीष्ठ पर वेलोसिटी शून्य के करीब हो सकती है, यह गलत है; कम-से-कम √(gR) होना ज़रूरी है।
• निम्नतम और शीष्ठ बिंदु के बीच ऊँचाइ अंतर R लिया गया है, जबकि यह 2R होना चाहिए।

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