ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ R = 0.8 मीटर : शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना

एक छोटी गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के चिकने आंतरिक भित्ति पर चलती है, जिसका त्रिज्या R = 0.8 मीटर है (g = 10 मीटर/सेकंड² लिए गए हैं)। गेंद ठीक शीर्ष बिंदु से गुजर सकती है, उसका शीर्ष और न्यूनतम बिंदु पर वेलोसिटी ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. mg = mv_शीर्ष²/r → v_शीर्ष = √(gr) = √(10×0.8) = 2.8284
   शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना: गुरुत्वाकर्षण बल पूर्ण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है (रस्सी/पथ द्वारा लगाया गया बल 0 है)
2. ½mv_तल² = ½mv_शीर्ष² + mg·2r → v_तल = √(5gr) = 6.3246
   निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक ऊँचाई का अंतर 2r है, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है

यह क्यों काम करता है

ठीक गुजरने का शर्त है कि शीर्ष पर अभिलंब बल शून्य होता है, और गुरुत्वाकर्षण ही केंद्रमुखी बल पूरा करता है: mg = mv_shirsh²/R। गेंद शीर्ष से न्यूनतम बिंदु पर 2R ऊंचाई से गिरती है, जिससे वेलोसिटी का वर्ग 4gR बढ़ता है।

सामान्य गलतियाँ

• गुरुत्वाकर्षण और त्रिज्या का गुणनफल (gR) को त्रिज्या के वर्ग (R²) से गलत हिसाब कर लिया, जिससे मूलमें 8 के बदले 0.64 आ गया।
• न्यूनतम बिंदु पर वेलोसिटी शीर्ष बिंदु से ज्यादा होनी चाहिए, यह भूल गये।

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