ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ R = 0.9 मीटर: शीष्ठ बिंदु से ठीक-से गुजरना

एक लघु गोला R = 0.9 मीटर त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के अंदरूनी चिकने भित्ति पर चलता है (g = 10 मी/से²)। गोला ठीक-से शीष्ठ बिंदु से गुजर सकता है। उसके शीष्ठ और न्यूनतम बिंदु पर वेलोसिटी ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. mg = mv_शीर्ष²/r → v_शीर्ष = √(gr) = √(10×0.9) = 3
   शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना: गुरुत्वाकर्षण बल पूर्ण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है (रस्सी/पथ द्वारा लगाया गया बल 0 है)
2. ½mv_तल² = ½mv_शीर्ष² + mg·2r → v_तल = √(5gr) = 6.7082
   निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक ऊँचाई का अंतर 2r है, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है

यह क्यों काम करता है

ठीक-से गुजरने का शर्त यह है कि शीष्ठ बिंदु पर पथ कोई बल नहीं लगाता, वहाँ केवल गुरुत्वाकर्षण केंद्रमुखी बल पूरा करता है, यानि mg = mv²/R; ज्यादा त्रिज्या पर ज्यादा वेलोसिटी की जरूरत होती है, क्योंकि आवश्यक केंद्रमुखी बल R से बढ़ता है।

सामान्य गलतियाँ

• शीष्ठ बिंदु पर वेलोसिटी के लिए √(gR) के बदले gR लिया गया।
• यह मानना कि शीष्ठ बिंदु पर वेलोसिटी त्रिज्या से असंबंधित है।

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