ऊर्ध्वाधर वृत्तीय पथ R = 1.6 मीटर: शिर्ष और निचले बिंदु पर चाल

एक छोटी गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्तीय पथ के चिकने अंदरूनी भित्ति पर चलती है, जिसका त्रिज्या R = 1.6 मीटर है (g = 10 मीटर/सेकंड²)। गेंद ठीक-ठीक शिर्ष बिंदु से गुजरती है। इसके शिर्ष और निचले बिंदु पर चाल ज्ञात करें।

चरण-दर-चरण हल

1. mg = mv_शीर्ष²/r → v_शीर्ष = √(gr) = √(10×1.6) = 4
   शीर्ष बिंदु से ठीक गुजरना: गुरुत्वाकर्षण बल पूर्ण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है (रस्सी/पथ द्वारा लगाया गया बल 0 है)
2. ½mv_तल² = ½mv_शीर्ष² + mg·2r → v_तल = √(5gr) = 8.9443
   निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक ऊँचाई का अंतर 2r है, और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है

यह क्यों काम करता है

ठीक-ठीक शिर्ष से गुजरते समय केंद्राभिमुखी बल केवल गुरुत्वाकर्षण ही पूरा करता है, इसलिए v_shirsh = √(gR)। शिर्ष से निचले बिंदु तक 2R ऊँचाई कम होने पर यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है और गेंद की चाल बढ़ जाती है।

सामान्य गलतियाँ

• शिर्ष और निचले बिंदु की चालें उल्ट़ी कर देना (निचले बिंदु पर चाल हमेशा ज्यादा होती है)।
• ऊर्जा संरक्षण के नियम को अनदेखा कर शिर्ष और निचले बिंदु पर चाल समान मान लेना।

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